ோட்டித்தேர்வுக்கு தேவையான கணித அடிப்படை குறிப்புகள்

 

TNPSC போட்டித்தேர்வுக்கு தேவையான கணித அடிப்படை குறிப்புகள்

1. எண்கள் மற்றும் கணக்கீடுகள் (Numbers & Arithmetic)

• பெரிய எண்களைப் படிக்கவும், எழுதவும் காற்புள்ளி பயன்படுகிறது.[cite: 1]
• இந்திய மற்றும் பன்னாட்டு முறையில் காற்புள்ளியின் பயன்பாடு வேறுபடுகிறது.[cite: 1]
• இரண்டு எண்களை ஒப்பிடும்போது, அதிக இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் பெரிய எண்ணாகும்.[cite: 1]
• இரண்டு எண்களை ஒப்பிடும்போது, சம எண்ணிக்கையில் இலக்கங்களைப் பெற்றிருந்தால், இடப்புறம் பெரிய இலக்கத்தைக் கொண்ட எண் பெரிய எண்ணாகும்.[cite: 1]
• எண் கணிதக் கணக்கீடுகளைச் சரியாகச் செய்ய BIDMAS பயன்படுகிறது.[cite: 1]
• கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் மதிப்பினை தோராயமாக குறிப்பதை உத்தேச மதிப்பு என்கிறோம்.[cite: 1]
• எண்ணை முழுமையாக்குவதால் அதன் மதிப்பினை எளிதாகவும் தேவைக்கேற்பவும் கணக்கிட முடியும்.[cite: 1]
• இயல் எண்களின் (N) தொகுப்போடு பூச்சியத்தைச் சேர்க்கும்போது முழு எண்கள் (W) கிடைக்கின்றன. W = {0, 1, 2, ...}.[cite: 1]
• முழு எண்களில் மிகச் சிறிய எண் '0' ஆகும்.[cite: 1]
• 0 மற்றும் 1 முறையே முழு எண்களின் கூட்டல் சமனி மற்றும் பெருக்கல் சமனி ஆகும்.[cite: 1]
• முழு எண்களை எவ்வரிசையிலும் கூட்டவும் அல்லது பெருக்கவும் முடியும். எனவே, இது பரிமாற்றுப் பண்புடையது.[cite: 1]
• முழு எண்களின் பெருக்கலானது பரிமாற்று மற்றும் சேர்ப்புப் பண்புகளை உடையது.[cite: 1]
• கூட்டலின் மீதான பெருக்கலின் பங்கீட்டுப் பண்பை முழு எண்கள் நிறைவு செய்யும்.[cite: 1]
• முழு எண்களைப் பூச்சியத்தால் வகுப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை.[cite: 1]

2. மாறிகள் மற்றும் விகிதங்கள் (Variables, Ratio & Proportion)

• மாறி என்பது வெவ்வேறு எண் மதிப்புகளை ஏற்கும் அளவீடாகும். இதை a, b, c, d, ..., x, y, z என்ற சிறிய ஆங்கில எழுத்துகளால் குறிக்கலாம்.[cite: 1]
• மாறிலி என்பது ஒரு நிலையான மதிப்பை ஏற்கும் எண்ணுரு / எழுத்துரு ஆகும்.[cite: 1]
• இரண்டு அளவுகளை வகுத்தலின் மூலம் ஒப்பிடுவது விகிதம் ஆகும்.[cite: 1]
• பொதுவாக விகிதங்கள் பின்னங்களாக எளிய வடிவத்தில் எழுதப்படும்.[cite: 1]
• விகிதத்திற்கு அலகு இல்லை; விகிதத்தின் இரண்டு அளவுகளும் ஒரே அலகினைப் பெற்றிருக்கும்.[cite: 1]
• விகிதத்தின் உறுப்புகளின் வரிசையை மாற்ற முடியாது.[cite: 1]
• சமான விகிதத்தைப் பெற விகிதத்தின் பகுதியையும் தொகுதியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்.[cite: 1]
• இரண்டு விகிதங்கள் சமம் எனில், அவை விகித சமம் எனப்படும்.[cite: 1]
• விகிதசம விதிப்படி, கோடி உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனானது, நடுஉறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம்.[cite: 1]
• ஓரலகு முறை என்பது 1 அலகு மதிப்பினைக் கண்டறிந்து, தேவைப்படும் அலகின் எண்ணிக்கையின் மதிப்பினைக் கண்டறிதல் ஆகும்.[cite: 1]

3. வடிவியல் அடிப்படை (Basic Geometry)

• கோடு என்பது இருபுறங்களிலும் முடிவின்றி நீண்டுகொண்டே செல்லும்.[cite: 1]
• கோட்டுத்துண்டிற்கு இரு முனைகள் உண்டு. இதன் இருபுறங்களும் முடிவு பெற்று இருக்கும்.[cite: 1]
• இணைகோடுகள் ஒன்றையொன்று சந்திக்காமல் சென்று கொண்டே இருக்கும்.[cite: 1]
• இரண்டு கோடுகள் இணையாக இல்லையெனில், அவை வெட்டும் கோடுகள் எனப்படும்.[cite: 1]
• 90° இக்கும் குறைவான கோண அளவு குறுங்கோணம் எனப்படும்.[cite: 1]
• 90° கோண அளவை கொண்டக் கோணம் செங்கோணம் எனப்படும்.[cite: 1]
• 90° ஐ விட அதிகமாகவும், 180° ஐ விட குறைவாகவும் உள்ள கோண அளவு விரிகோணம் எனப்படும்.[cite: 1]
• இரண்டு கோடுகள் சரியாக ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் போது 0° (பூச்சியக் கோணம்) உருவாகிறது.[cite: 1]
• இரு கோணங்களின் கூடுதல் 90° எனில், அவை நிரப்பு கோணம் எனப்படும்.[cite: 1]
• இரு கோணங்களின் கூடுதல் 180° எனில், அவை மிகை நிரப்பு கோணம் எனப்படும்.[cite: 1]
• மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோட்டின் மீது அமைந்தால் அப்புள்ளிகள் ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள் எனப்படும்.[cite: 1]
• மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் சென்றால் அக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிக் கோடுகள் எனப்படும்.[cite: 1]

4. பகா எண்கள் மற்றும் மீ.சி.ம / மீ.பெ.கா (Prime Numbers, LCM & HCF)

• 1-ஐ விட அதிகமான இயல் எண்ணானது, 1 மற்றும் அதே எண் மட்டுமே காரணிகளாகப் பெற்றிருப்பின், அது பகா எண் எனப்படும்.[cite: 1]
• இரண்டிற்கு மேற்பட்ட காரணிகளைப் பெற்றிருப்பின், அது பகு எண் எனப்படும்.[cite: 1]
• ஒரு சோடி பகா எண்களுக்கிடையே உள்ள வேறுபாடு 2 எனில், அவை இரட்டைப் பகா எண்கள் எனப்படும்.[cite: 1]
• இரு எண்களின் மீப்பெரு பொதுக் காரணி 1 எனில் அவை "சார்பகா" அல்லது "இணைப்பகா எண்கள்" எனப்படும்.[cite: 1]
• கொடுக்கப்பட்ட இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் = (மீ.பெ.கா) × (மீ.சி.ம).[cite: 1]

5. அளவியல் மற்றும் காலம் (Measurements & Time)

• நீளத்திற்கு மீட்டரும், எடைக்குக் கிராமும், கொள்ளளவுக்கு லிட்டரும் அடிப்படை மெட்ரிக் அலகுகள் ஆகும்.[cite: 1]
• 12 மணி நேர அமைப்பை 24 மணி நேர அமைப்பாக மாற்றும்போது, பிற்பகல் 1.00 தொடர்ந்து வரும் மணிகளுடன் 12:00 மணியைக் கூட்ட வேண்டும்.[cite: 1]
• 4 ஆல் வகுபடும் ஆண்டுகள் லீப் ஆண்டுகள் ஆகும்; நூற்றாண்டுகள் 400 ஆல் வகுபட்டால் அவை லீப் ஆண்டுகள் ஆகும்.[cite: 1]

6. இலாபம், நட்டம் மற்றும் தள்ளுபடி (Profit, Loss & Discount)

• இலாபம் = விற்பனை விலை - அடக்க விலை (விற்பனை விலை > அடக்க விலை).[cite: 1]
• நட்டம் = அடக்க விலை - விற்பனை விலை (அடக்க விலை > விற்பனை விலை).[cite: 1]
• தள்ளுபடி = குறித்த விலை - விற்பனை விலை.[cite: 1]
• விற்பனை விலை = குறித்த விலை - தள்ளுபடி.[cite: 1]

7. சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு (Perimeter & Area Formulas)

• செவ்வகத்தின் சுற்றளவு, P = 2 × (l + b) அலகுகள்.[cite: 1]
• சதுரத்தின் சுற்றளவு, P = 4 × s அலகுகள்.[cite: 1]
• முக்கோணத்தின் சுற்றளவு, P = (a + b + c) அலகுகள்.[cite: 1]
• செவ்வகத்தின் பரப்பளவு, A = l × b சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• சதுரத்தின் பரப்பளவு, A = s × s சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, A = ½ × (b × h) சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• இணைகரத்தின் பரப்பளவு = b × h சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு = ½ × d₁ × d₂ சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• சரிவகத்தின் பரப்பளவு = ½ × h × (a + b) சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• வட்டத்தின் சுற்றளவு, C = πd = 2πr அலகுகள்.[cite: 1]
• வட்டத்தின் பரப்பளவு, A = πr² சதுர அலகுகள்.[cite: 1]
• வட்டவளையத்தின் பரப்பளவு = π(R² - r²) சதுர அலகுகள்.[cite: 1]

8. இயற்கணித முற்றொருமைகள் (Algebraic Identities)

• (x + a)(x + b) = x² + x(a + b) + ab[cite: 1]
• (a + b)² = a² + 2ab + b²[cite: 1]
• (a - b)² = a² - 2ab + b²[cite: 1]
• (a + b)(a - b) = a² - b²[cite: 1]

9. தனிவட்டி மற்றும் சதவீதம் (Simple Interest & Percentage)

• சதவீதம் என்பது பகுதியில் 100 ஐக் கொண்ட ஒரு பின்னம் ஆகும்.[cite: 1]
• மொத்தத் தொகை = அசல் + வட்டி.[cite: 1]
• தனிவட்டி (SI) = (P × n × r) / 100[cite: 1]
  (இங்கு P = அசல், n = காலம், r = வட்டி வீதம்)[cite: 1]

10. புள்ளியியல் (Statistics)

• கூட்டுச் சராசரி = (மதிப்புகளின் கூடுதல்) / (மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை).[cite: 1]
• முகடு என்பது அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான தரவுகளின் மதிப்பு ஆகும்.[cite: 1]
• இடைநிலை (Median): உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n) ஒற்றைப்படை எனில் (n + 1)/2-ஆவது உறுப்பு; இரட்டைப்படை எனில் n/2 மற்றும் (n/2 + 1)-ஆவது உறுப்புகளின் சராசரி.[cite: 1]

தொடர் வரிசைகள் மற்றும் தொடர்கள் (Sequences & Series)

1. தொடர் வரிசைகள் (Sequences)

• ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் கூடுதல் தொடர் எனப்படும்[cite: 2].
• ஒரு தொடரில் முடிவுறு எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் அமையுமானால் அது முடிவுறு தொடர் எனப்படும்[cite: 2].
• ஒரு தொடரில் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் அது முடிவுறாத் தொடர் எனப்படும்[cite: 2].

எடுத்துக்காட்டு: அடுத்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க

(i) 1/2, 1/6, 1/10, 1/14, ...

தொகுதி 1 ஆக உள்ளது. பகுதியானது 4 அதிகரிக்கிறது[cite: 2].
அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்: 1/18, 1/22, 1/26[cite: 2].

(ii) 5, 2, -1, -4, ...

ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை விட 3 குறைவாக உள்ளது[cite: 2].
அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்: -7, -10, -13[cite: 2].

(iii) 1, 0.1, 0.01, ...

ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை 10 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கிறது[cite: 2].
அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்: 0.001, 0.0001, 0.00001[cite: 2].

2. கூட்டுத் தொடர்வரிசை (Arithmetic Progression - A.P.)

a மற்றும் d என்பன மெய்யெண்கள் எனில், a, a+d, a+2d, a+3d, ... என்ற வடிவில் அமையும் எண்கள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையை அமைக்கும்[cite: 2].

• a = முதல் உறுப்பு (First Term)[cite: 2]
• d = பொது வித்தியாசம் (Common Difference)[cite: 2]

முக்கிய சூத்திரங்கள் (Formulas)

• பொது உறுப்பு (n-வது உறுப்பு): t_n = a + (n - 1)d[cite: 2]
• உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n): n = [(l - a) / d] + 1 (இங்கு l = கடைசி உறுப்பு)[cite: 2]
• முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் (S_n): S_n = (n / 2) [2a + (n - 1)d][cite: 2]
• கடைசி உறுப்பு கொடுக்கப்பட்டால் கூடுதல்: S_n = (n / 2) [a + l][cite: 2]
• மூன்று எண்கள் A.P.-யில் அமைவதற்கான நிபந்தனை: 2b = a + c[cite: 2]

கூட்டுத் தொடர் முக்கிய பண்புகள்:

• A.P.-யின் மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டால்: (a - d), a, (a + d) என எடுக்க வேண்டும்[cite: 2].
• A.P.-யின் நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டால்: (a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d) என எடுக்க வேண்டும்[cite: 2].

3. சிறப்புத் தொடர்கள் (Special Series)

• முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல்: 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n + 1)] / 2[cite: 2]
• முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல்: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²[cite: 2]
• முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல்: 1² + 2² + 3² + ... + n² = [n(n + 1)(2n + 1)] / 6[cite: 2]
• முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [[n(n + 1)] / 2]²[cite: 2]

4. பயிற்சி வினாக்கள் (Practice Questions)

1. -11, -15, -19 என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 19வது உறுப்பைக் காண்க[cite: 2].
   விடை: -83[cite: 2]
2. 16, 11, 6, 1, ... என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு[cite: 2]?
   விடை: 15[cite: 2]
3. 3 + k, 18 - k, 5k + 1 என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில் k-யின் மதிப்புக் காண்க[cite: 2].
   விடை: 5[cite: 2]
4. 1 + 2 + 3 + ... + k = 325 எனில், 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ இன் மதிப்பைக் காண்க[cite: 2].
   விடை: 105625[cite: 2]
5. 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = 44100 எனில், 1 + 2 + 3 + ... + k இன் மதிப்பைக் காண்க[cite: 2].
   விடை: 210[cite: 2]