பயிற்சி 2.9 (Exercise 2.9) - விரிவான தீர்வுகள்

மாணவர்கள் எளிதில் புரிந்து கொள்ளும் வகையில் படிப் படியான தீர்வுகள்

1. \(\frac{1}{x^2 - a^2}\)

படி 1: பகுதியைக் காரணிப்படுத்துதல் (Factorize the Denominator)

சூத்திரம்: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

$$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x - a)(x + a)}$$

படி 2: பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தல் (Partial Fraction Form)

$$\frac{1}{(x - a)(x + a)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x + a} \quad \text{--- (1)}$$

மீ.சி.ம (LCM) எடுத்து தொகுதிகளை மட்டும் ஒப்பிட:

$$1 = A(x + a) + B(x - a) \quad \text{--- (2)}$$

படி 3: A மற்றும் B இன் மதிப்புகளைக் காணுதல்

A ஐக் காண, \(x = a\) என சமன்பாடு (2)-இல் பிரதியிட:

$$1 = A(a + a) + B(a - a)$$ $$1 = A(2a) + B(0)$$ $$1 = 2aA \implies A = \frac{1}{2a}$$

B ஐக் காண, \(x = -a\) என சமன்பாடு (2)-இல் பிரதியிட:

$$1 = A(-a + a) + B(-a - a)$$ $$1 = A(0) + B(-2a)$$ $$1 = -2aB \implies B = -\frac{1}{2a}$$

படி 4: மதிப்புகளை சமன்பாடு (1)-இல் பிரதியிடல்

$$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{\frac{1}{2a}}{x - a} + \frac{-\frac{1}{2a}}{x + a}$$

விடை: $$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a(x - a)} - \frac{1}{2a(x + a)}$$

2. \(\frac{3x + 1}{(x - 2)(x + 1)}\)

படி 1: பகுதி பின்னங்களாக எழுதுதல்

$$\frac{3x + 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} \quad \text{--- (1)}$$

குறுக்கு பெருக்கல் செய்ய:

$$3x + 1 = A(x + 1) + B(x - 2) \quad \text{--- (2)}$$

படி 2: A இன் மதிப்பைக் காணுதல்

\(x - 2 = 0 \implies x = 2\) என சமன்பாடு (2)-இல் பிரதியிட:

$$3(2) + 1 = A(2 + 1) + B(2 - 2)$$ $$6 + 1 = A(3) + B(0)$$ $$7 = 3A \implies A = \frac{7}{3}$$

படி 3: B இன் மதிப்பைக் காணுதல்

\(x + 1 = 0 \implies x = -1\) என சமன்பாடு (2)-இல் பிரதியிட:

$$3(-1) + 1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 2)$$ $$-3 + 1 = A(0) + B(-3)$$ $$-2 = -3B \implies B = \frac{2}{3}$$

விடை: $$\frac{3x + 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{7}{3(x - 2)} + \frac{2}{3(x + 1)}$$

3. \(\frac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)(x + 2)}\)

படி 1: பகுதி பின்ன அமைப்பு

இங்கு \((x^2 + 1)\) காரணிப்படுத்த முடியாத இருபடி கோவை என்பதால் அதன் தொகுதி \((Ax + B)\) என இருக்கும்.

$$\frac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 2} \quad \text{--- (1)}$$ $$x = (Ax + B)(x - 1)(x + 2) + C(x^2 + 1)(x + 2) + D(x^2 + 1)(x - 1) \quad \text{--- (2)}$$

படி 2: C மற்றும் D மதிப்புகளைக் காணுதல்

C ஐக் காண \(x = 1\) எனப் பிரதியிட:

$$1 = 0 + C(1^2 + 1)(1 + 2) + 0$$ $$1 = C(2)(3) \implies 6C = 1 \implies C = \frac{1}{6}$$

D ஐக் காண \(x = -2\) எனப் பிரதியிட:

$$-2 = 0 + 0 + D((-2)^2 + 1)(-2 - 1)$$ $$-2 = D(4 + 1)(-3) \implies -15D = -2 \implies D = \frac{2}{15}$$

படி 3: A மற்றும் B மதிப்புகளைக் காணுதல்

B ஐக் காண \(x = 0\) எனப் பிரதியிட:

$$0 = (0 + B)(0 - 1)(0 + 2) + C(0 + 1)(0 + 2) + D(0 + 1)(0 - 1)$$ $$0 = B(-1)(2) + 2C - D \implies -2B + 2\left(\frac{1}{6}\right) - \frac{2}{15} = 0$$ $$2B = \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{5 - 2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \implies B = \frac{1}{10}$$

A ஐக் காண दोन्ही பக்கமும் \(x^3\) கெழுவை ஒப்பிட:

$$0 = A + C + D$$ $$A = -C - D = -\frac{1}{6} - \frac{2}{15} = \frac{-5 - 4}{30} = -\frac{9}{30} = -\frac{3}{10}$$

விடை: $$\frac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)(x + 2)} = \frac{-\frac{3}{10}x + \frac{1}{10}}{x^2 + 1} + \frac{1}{6(x - 1)} + \frac{2}{15(x + 2)}$$ $$= \frac{1 - 3x}{10(x^2 + 1)} + \frac{1}{6(x - 1)} + \frac{2}{15(x + 2)}$$

4. \(\frac{x}{(x - 1)^3}\)

எளிய முறை (Short Trick)

தொகுதியில் உள்ள \(x\)-ஐ \((x - 1) + 1\) என மாற்றி எழுதலாம்:

$$\frac{x}{(x - 1)^3} = \frac{(x - 1) + 1}{(x - 1)^3}$$

இப்போது பின்னத்தைப் பிரித்து எழுத:

$$= \frac{x - 1}{(x - 1)^3} + \frac{1}{(x - 1)^3}$$ $$= \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x - 1)^3}$$

விடை: $$\frac{x}{(x - 1)^3} = \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x - 1)^3}$$

5. \(\frac{1}{x^4 - 1}\)

படி 1: காரணிப்படுத்துதல்

$$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$ $$\frac{1}{x^4 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1} \quad \text{--- (1)}$$ $$1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 1)(x + 1) \quad \text{--- (2)}$$

படி 2: மாறிலிகளைக் காணுதல்

\(x = 1\) எனப் பிரதியிட: \(1 = A(2)(2) + 0 + 0 \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}\)

\(x = -1\) எனப் பிரதியிட: \(1 = 0 + B(-2)(2) + 0 \implies -4B = 1 \implies B = -\frac{1}{4}\)

\(x = 0\) எனப் பிரதியிட: \(1 = A(1)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(1)\)

$$1 = A - B - D \implies 1 = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) - D$$ $$1 = \frac{1}{2} - D \implies D = -\frac{1}{2}$$

\(x^3\) கெழுவை ஒப்பிட: \(A + B + C = 0 \implies \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + C = 0 \implies C = 0\)

விடை: $$\frac{1}{x^4 - 1} = \frac{1}{4(x - 1)} - \frac{1}{4(x + 1)} - \frac{1}{2(x^2 + 1)}$$

6. \(\frac{(x - 1)^2}{x^3 + x}\)

படி 1: சுருக்குதல் மற்றும் அமைத்தல்

$$\frac{(x - 1)^2}{x^3 + x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x(x^2 + 1)}$$ $$\frac{x^2 - 2x + 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \quad \text{--- (1)}$$ $$x^2 - 2x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$$ $$x^2 - 2x + 1 = (A + B)x^2 + Cx + A$$

படி 2: இருபுறமும் கெழுக்களை ஒப்பிடுதல்

• மாறிலி உறுப்பு: \(A = 1\)
• \(x\) இன் கெழு: \(C = -2\)
• \(x^2\) இன் கெழு: \(A + B = 1 \implies 1 + B = 1 \implies B = 0\)

விடை: $$\frac{(x - 1)^2}{x^3 + x} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2 + 1}$$

7. \(\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 5x + 6}\)

படி 1: தகா பின்னத்தை தகு பின்னமாக மாற்றுதல் (Improper to Proper Fraction)

தொகுதி மற்றும் பகுதியின் அடுக்கு ஒன்றாக (\(x^2\)) இருப்பதால் முதலில் வகுக்க வேண்டும்.

$$\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 5x + 6} = 1 + \frac{6x - 5}{x^2 - 5x + 6}$$

பகுதி: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

$$\frac{6x - 5}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$$ $$6x - 5 = A(x - 3) + B(x - 2)$$

படி 2: A மற்றும் B மதிப்புகள்

\(x = 2\) எனப் பிரதியிட: \(6(2) - 5 = A(2 - 3) \implies 7 = -A \implies A = -7\)

\(x = 3\) எனப் பிரதியிட: \(6(3) - 5 = B(3 - 2) \implies 13 = B(1) \implies B = 13\)

விடை: $$\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 5x + 6} = 1 - \frac{7}{x - 2} + \frac{13}{x - 3}$$

8. \(\frac{x^3 + 2x + 1}{x^2 + 5x + 6}\)

படி 1: நீண்ட வகுத்தல் முறை (Long Division)

தொகுதியின் அடுக்கு (3) பகுதியின் அடுக்கை (2) விட அதிகம் என்பதால் வகுக்க:

$$\frac{x^3 + 2x + 1}{x^2 + 5x + 6} = (x - 5) + \frac{21x + 31}{x^2 + 5x + 6}$$

பகுதி: \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)

$$\frac{21x + 31}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$$ $$21x + 31 = A(x + 3) + B(x + 2)$$

படி 2: A மற்றும் B மதிப்புகள்

\(x = -2\) எனப் பிரதியிட: \(21(-2) + 31 = A(-2 + 3) \implies -42 + 31 = A \implies A = -11\)

\(x = -3\) எனப் பிரதியிட: \(21(-3) + 31 = B(-3 + 2) \implies -63 + 31 = -B \implies -32 = -B \implies B = 32\)

விடை: $$\frac{x^3 + 2x + 1}{x^2 + 5x + 6} = x - 5 - \frac{11}{x + 2} + \frac{32}{x + 3}$$

9. \(\frac{x + 12}{(x + 1)^2(x - 2)}\)

படி 1: திரும்ப வரும் காரணி அமைப்பு (Repeated Factor)

$$\frac{x + 12}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{C}{x - 2}$$ $$x + 12 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 2) + C(x + 1)^2$$

படி 2: மதிப்புகளைக் காணுதல்

\(x = 2\) எனப் பிரதியிட: \(2 + 12 = C(2 + 1)^2 \implies 14 = 9C \implies C = \frac{14}{9}\)

\(x = -1\) எனப் பிரதியிட: \(-1 + 12 = B(-1 - 2) \implies 11 = -3B \implies B = -\frac{11}{3}\)

\(x = 0\) எனப் பிரதியிட: \(12 = A(1)(-2) + B(-2) + C(1)^2\)

$$12 = -2A - 2\left(-\frac{11}{3}\right) + \frac{14}{9}$$ $$12 = -2A + \frac{22}{3} + \frac{14}{9} \implies 2A = \frac{80}{9} - 12 = -\frac{28}{9} \implies A = -\frac{14}{9}$$

விடை: $$\frac{x + 12}{(x + 1)^2(x - 2)} = -\frac{14}{9(x + 1)} - \frac{11}{3(x + 1)^2} + \frac{14}{9(x - 2)}$$

10. \(\frac{6x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + x + 1}\)

படி 1: காரணிப்படுத்துதல்

$$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$$ $$\frac{6x^2 - x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$$ $$6x^2 - x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)$$

படி 2: மதிப்புகளைக் காணுதல்

\(x = -1\) எனப் பிரதியிட: \(6(-1)^2 - (-1) + 1 = A((-1)^2 + 1) \implies 8 = 2A \implies A = 4\)

\(x = 0\) எனப் பிரதியிட: \(1 = A(1) + C(1) \implies 1 = 4 + C \implies C = -3\)

\(x^2\) கெழுக்களை ஒப்பிட: \(6 = A + B \implies 6 = 4 + B \implies B = 2\)

விடை: $$\frac{6x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4}{x + 1} + \frac{2x - 3}{x^2 + 1}$$

11. \(\frac{2x^2 + 5x - 11}{x^2 + 2x - 3}\)

படி 1: வகுத்தல் மற்றும் காரணிப்படுத்துதல்

$$\frac{2x^2 + 5x - 11}{x^2 + 2x - 3} = 2 + \frac{x - 5}{x^2 + 2x - 3}$$

பகுதி: \(x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\)

$$\frac{x - 5}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 1}$$ $$x - 5 = A(x - 1) + B(x + 3)$$

படி 2: A மற்றும் B மதிப்புகள்

\(x = 1\) எனப் பிரதியிட: \(1 - 5 = B(1 + 3) \implies -4 = 4B \implies B = -1\)

\(x = -3\) எனப் பிரதியிட: \(-3 - 5 = A(-3 - 1) \implies -8 = -4A \implies A = 2\)

விடை: $$\frac{2x^2 + 5x - 11}{x^2 + 2x - 3} = 2 + \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{x - 1}$$

12. \(\frac{7 + x}{(1 + x)(1 + x^2)}\)

படி 1: பகுதி பின்ன அமைப்பு

$$\frac{x + 7}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$$ $$x + 7 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)$$

படி 2: மதிப்புகளைக் காணுதல்

\(x = -1\) எனப் பிரதியிட: \(-1 + 7 = A(1 + 1) \implies 6 = 2A \implies A = 3\)

\(x = 0\) எனப் பிரதியிட: \(7 = A(1) + C(1) \implies 7 = 3 + C \implies C = 4\)

\(x^2\) கெழுக்களை ஒப்பிட: \(0 = A + B \implies 0 = 3 + B \implies B = -3\)

விடை: $$\frac{7 + x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{3}{1 + x} + \frac{4 - 3x}{1 + x^2}$$