11 th maths solution

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2026

11-ஆம் வகுப்பு — கணிதம் (விடைகளுடன்)

பகுதி - I (1 மதிப்பெண் வினாக்கள்)

1) \(A=\{(x,y):y=e^{x},x\in\mathbb{R}\}\) மற்றும் \(B=\{(x,y):y=e^{-x},x\in\mathbb{R}\}\) எனில், \(n(A\cap B)\)

தீர்வு: \(e^x = e^{-x} \implies e^{2x} = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0\).
\(x = 0\) எனில் \(y = e^0 = 1\). வெட்டுப்புள்ளி \((0,1)\) மட்டுமே. எனவே, \(n(A \cap B) = 1\).
விடை: (ஆ) 1

2) கணிதம் மற்றும் வேதியியல் இரண்டும் பாடங்களாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 70. இது கணிதத்தை ஏற்றவர்களின் 10% மற்றும் வேதியியல் ஏற்றவர்களின் 14% ஆகும். இவற்றில் ஏதாவதொன்றைப் பாடமாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை:

தீர்வு: \(n(M \cap C) = 70\).
\(10\% \text{ of } n(M) = 70 \implies n(M) = 700\).
\(14\% \text{ of } n(C) = 70 \implies n(C) = 500\).
\(n(M \cup C) = n(M) + n(C) - n(M \cap C) = 700 + 500 - 70 = 1130\).
விடை: (ஆ) 1130

3) \(|x-1|\ge|x-3|\) என்ற அசமன்பாட்டின் தீர்வுக் கணம்:

தீர்வு: இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த: \((x-1)^2 \ge (x-3)^2\)
\(x^2 - 2x + 1 \ge x^2 - 6x + 9 \implies 4x \ge 8 \implies x \ge 2\).
விடை: (ஆ) \([2,\infty)\)

4) \(\log_{a}b \cdot \log_{b}c \cdot \log_{c}a\) -ன் மதிப்பு:

தீர்வு: அடிமான மாற்ற விதியின்படி: \(\frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} \cdot \frac{\log a}{\log c} = 1\).
விடை: (ஆ) 1

5) \(3x^{2}-5x-7=0\)-ன் மூலங்களுக்கு எண்ணளவில் சமமாகவும், எதிர் குறியீடுகளையும் உடைய மூலங்களைக் கொண்ட சமன்பாடு:

தீர்வு: \(x\)-க்கு பதிலாக \(-x\) பிரதியிட: \(3(-x)^2 - 5(-x) - 7 = 0 \implies 3x^2 + 5x - 7 = 0\).
விடை: (ஆ) \(3x^{2}+5x-7=0\)

6) \(x=\sqrt{5x^{2}-25}\), \(x\in\mathbb{R}\) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு:

தீர்வு: வர்க்கப்படுத்த: \(x^2 = 5x^2 - 25 \implies 4x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{4} \implies x = \pm\frac{5}{2}\).
\(x \ge 0\) என்பதால், \(x = \frac{5}{2}\).
விடை: (ஆ) \(\frac{5}{2}\)

7) \(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ = k^3\) எனில், \(\cos 17^\circ = \)

தீர்வு: \(\sqrt{2}(\cos 45^\circ \cos 28^\circ + \sin 45^\circ \sin 28^\circ) = k^3 \implies \sqrt{2} \cos(45^\circ - 28^\circ) = k^3 \implies \cos 17^\circ = \frac{k^3}{\sqrt{2}}\).
விடை: (அ) \(\frac{k^{3}}{\sqrt{2}}\)

8) \(\left(1+\cos\frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos\frac{3\pi}{8}\right)\left(1+\cos\frac{5\pi}{8}\right)\left(1+\cos\frac{7\pi}{8}\right)=\)

தீர்வு: \(= \left(1-\cos^2\frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2\frac{3\pi}{8}\right) = \sin^2\frac{\pi}{8} \cdot \cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1}{4}\sin^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{8}\).
விடை: (அ) \(\frac{1}{8}\)

9) \(\frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}+\frac{\sin(B-C)}{\cos B \cos C}+\frac{\sin(C-A)}{\cos C \cos A}=\)

தீர்வு: \((\tan A - \tan B) + (\tan B - \tan C) + (\tan C - \tan A) = 0\).
விடை: (இ) 0

10) \(f(x) = \frac{1}{1-3\cos x}\) -ன் வீச்சகம் காண்க.

தீர்வு: \(-1 \le \cos x \le 1 \implies -2 \le 1-3\cos x \le 4\).
வீச்சகம்: \((-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{4}, \infty)\).
விடை: (ஆ) \((-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{4}, \infty)\)

பகுதி - II (2 மதிப்பெண் வினாக்கள்)

11) \(n(\mathcal{P}(A))=1024\), \(n(A\cup B)=15\) மற்றும் \(n(\mathcal{P}(B))=32\) எனில், \(n(A\cap B)\) காண்க.

\(2^{n(A)} = 1024 \implies n(A) = 10\) மற்றும் \(2^{n(B)} = 32 \implies n(B) = 5\).
\(n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 10 + 5 - 15 = 0\).

12) தீர்க்க : \(|5x-12| < -2\).

மட்டு மதிப்பு எப்போதும் \(\ge 0\) என்பதால், எதிர்மறை எண்ணை விடக் குறைவாக இருக்க முடியாது.
விடை: மெய் எண் தீர்வு இல்லை (\(\emptyset\)).

13) சுருக்குக : \((125)^{\frac{2}{3}}\)

\((5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \times \frac{2}{3}} = 5^2 = 25\).

14) ஆரையனாக (Radians) மாற்றுக : \(-205^\circ\)

\(-205^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{41\pi}{36}\) ரேடியன்.

15) மதிப்புக் காண்க : \(\tan\left(\frac{19\pi}{3}\right)\)

\(\tan\left(6\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).

16) (கட்டாய வினா) \(f(x)=x^{2}-2\) எனில், \(6\) மற்றும் \(-3\) ஆகியவற்றின் முன் பிம்பங்களைக் காண்க.

(i) \(x^2 - 2 = 6 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm 2\sqrt{2}\).
(ii) \(x^2 - 2 = -3 \implies x^2 = -1 \implies x = \pm i \notin \mathbb{R}\) (மெய் முன்பிம்பங்கள் இல்லை).

பகுதி - III (3 மதிப்பெண் வினாக்கள்)

17) \(X=\{a,b,c,d\}\) மற்றும் \(R=\{(a,a),(b,b),(a,c)\}\). சேர்க்கப்பட வேண்டிய குறைந்தபட்ச உறுப்புகள்:

(i) தற்சுட்டு: \((c,c), (d,d)\)
(ii) சமச்சீர்: \((c,a)\)
(iii) கடப்பு: எதுவும் தேவையில்லை.
(iv) சமானத் தொடர்பு: \(\{(c,c), (d,d), (c,a)\}\)

18) தீர்வு காண்க: \(-x^{2}+4x-7 < 0\).

\(x^2 - 4x + 7 > 0\). இங்கு \(a = 1 > 0\) மற்றும் \(D = 16 - 28 = -12 < 0\).
எனவே, அனைத்து \(x \in \mathbb{R}\)-க்கும் இக்கோவை மெய்யாகும். தீர்வு: \(x \in \mathbb{R}\).

19) \(x^{2}+\sqrt{2}x+3=0\)-ன் மூலங்கள் \(\alpha, \beta\) எனில், பூஜ்ஜியங்கள் \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) உடைய இருபடிக் கோவை:

\(\alpha + \beta = -\sqrt{2}\), \(\alpha\beta = 3\).
புதிய மூலங்களின் கூடுதல் \(= \frac{-\sqrt{2}}{3}\), பெருக்கல் \(= \frac{1}{3}\).
சமன்பாடு: \(x^2 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)x + \frac{1}{3} = 0 \implies 3x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0\).

20) பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கவும் : \(\frac{x}{(x+3)(x-4)}\)

\(\frac{x}{(x+3)(x-4)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-4} \implies x = A(x-4) + B(x+3)\).
\(x = 4 \implies B = \frac{4}{7}\) மற்றும் \(x = -3 \implies A = \frac{3}{7}\).
விடை: \(\frac{3}{7(x+3)} + \frac{4}{7(x-4)}\)

21) \(\sin^{2}\frac{\pi}{18}+\sin^{2}\frac{\pi}{9}+\sin^{2}\frac{7\pi}{18}+\sin^{2}\frac{4\pi}{9}=2\) என நிரூபிக்க.

\(\sin\frac{7\pi}{18} = \cos\frac{\pi}{18}\) மற்றும் \(\sin\frac{4\pi}{9} = \cos\frac{\pi}{9}\).
\(LHS = \left(\sin^2\frac{\pi}{18} + \cos^2\frac{\pi}{18}\right) + \left(\sin^2\frac{\pi}{9} + \cos^2\frac{\pi}{9}\right) = 1 + 1 = 2 = RHS\).

22) (கட்டாய வினா) \(\frac{2x-3}{(x-2)(x-4)}\le0\) -ன் தீர்வு காண்க.

முக்கிய புள்ளிகள்: \(x = \frac{3}{2}, 2, 4\).
தீர்வு: \(x \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup (2, 4)\)

பகுதி - IV (5 மதிப்பெண் வினாக்கள்)

23) (அ) \(mRn \iff m-n\) என்பது 12-ன் மடங்கு எனில் R ஒரு சமானத் தொடர்பு என நிரூபி.

1. தற்சுட்டு: \(m - m = 0 = 0 \times 12 \implies mRm\).
2. சமச்சீர்: \(m-n = 12k \implies n-m = 12(-k) \implies nRm\).
3. கடப்பு: \((m-n) + (n-p) = 12(k_1 + k_2) \implies m-p = 12k_3 \implies mRp\).
எனவே R ஒரு சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

அல்லது

23) (ஆ) தீர்க்க: \(\log_{2}x - 3\log_{\frac{1}{2}}x = 6\)

\(\log_{\frac{1}{2}}x = -\log_2 x\).
\(\log_2 x - 3(-\log_2 x) = 6 \implies 4\log_2 x = 6 \implies \log_2 x = \frac{3}{2}\).
\(x = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}\).

24) (அ) \(f(x)=2x-3\) இருபுறச்சார்பு என நிரூபித்து, அதன் நேர்மாறினைக் காண்க.

1. \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\) (ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு).
2. \(y = 2x - 3 \implies x = \frac{y+3}{2} \in \mathbb{R}\) (மேல்சார்பு).
நேர்மாறு: \(f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}\).

அல்லது

24) (ஆ) \(\sin A=\frac{3}{5}\), \(\cos B=\frac{9}{41}\) எனில் மதிப்புகளைக் காண்க:

(i) \(\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B = \frac{27 + 160}{205} = \mathbf{\frac{187}{205}}\)
(ii) \(\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B = \frac{36 + 120}{205} = \mathbf{\frac{156}{205}}\)
(iii) \(\tan(A+B) = \mathbf{-\frac{187}{84}}\).

25) (அ) \(f(x)=|x|-x\) மற்றும் \(g(x)=3x-5\) எனில் \(f\circ g\) மற்றும் \(g\circ f\) காண்க.

(i) \((f\circ g)(x) = f(3x-5) = |3x-5| - (3x-5)\).
(ii) \((g\circ f)(x) = g(|x|-x) = 3|x| - 3x - 5\).

அல்லது

25) (ஆ) \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) (\(\theta\) II-ம் காற்பகுதி) எனில் மற்ற 5 முக்கோணவியல் சார்புகள்:

\(\cos\theta = -\frac{4}{5}\),   \(\tan\theta = -\frac{3}{4}\),   \(\csc\theta = \frac{5}{3}\),   \(\sec\theta = -\frac{5}{4}\),   \(\cot\theta = -\frac{4}{3}\).

26) (அ) \(f(0)=1, f(1)=2, f(-1)=-2\) அமையும் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை \(f(x)\) காண்க.

\(f(x) = ax^2 + bx + c\) என்க. \(c = 1\).
\(a + b = 1\) மற்றும் \(a - b = -3 \implies a = -1, b = 2\).
தேவையான கோவை: \(f(x) = -x^2 + 2x + 1\).

அல்லது

26) (ஆ) \(f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}\)-ன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் காண்க.

சார்பகம்: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)
வீச்சகம்: \(y^2 - 4y - 8 \ge 0 \implies \mathbf{(-\infty, 2-2\sqrt{3}] \cup [2+2\sqrt{3}, \infty)}\).